Chứng tỏ A = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + \(\dfrac{1}{4^2}\) + ..... + \(\dfrac{1}{45^2}\) không phải là số nguyên .
m.n giúp mình nha chiều mình phải nộp rùi !
\(\left(\dfrac{1}{2^2}-1\right)\).\(\left(\dfrac{1}{3^2}-1\right).\left(\dfrac{1}{4^2}-1\right)\).....\(\left(\dfrac{1}{100^2}-1\right)\)
giúp mình nhanh với. tối mình phải nộp rùi huhuhu
\(\left(\dfrac{1}{2^2}-1\right)\times\left(\dfrac{1}{3^2-1}\right)\times\left(\dfrac{1}{4^2}-1\right)\times...\times\left(\dfrac{1}{100^2}-1\right)\)
\(=\dfrac{3}{2^2}\times\dfrac{8}{3^2}\times\dfrac{15}{4^2}\times...\times\dfrac{100^2-1}{100^2}\)
\(=\dfrac{1\times3}{2\times2}\times\dfrac{2\times4}{3\times3}\times\dfrac{3\times5}{4\times4}\times...\times\dfrac{99\times101}{100\times100}\)
\(=\dfrac{1\times2\times3\times...\times99}{2\times3\times4\times...\times100}\times\dfrac{3\times4\times5\times...\times101}{2\times3\times4\times...\times100}\)
\(=\dfrac{1}{100}\times\dfrac{101}{2}\)
\(=\dfrac{101}{200}\)
\(\left(\dfrac{1}{2^2}-1\right)\cdot\left(\dfrac{1}{3^2}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100^2}-1\right)\)
\(=\dfrac{-3}{4}\cdot\dfrac{-8}{3}\cdot...\cdot\dfrac{-9999}{10000}\)
\(=\dfrac{1\cdot\left(-3\right)}{2\cdot2}\cdot\dfrac{2\cdot\left(-4\right)}{3\cdot3}\cdot...\cdot\dfrac{99\cdot\left(-101\right)}{100\cdot100}\)
\(=\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot99}{2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot100}\cdot\dfrac{\left(-3\right)\cdot\left(-4\right)\cdot...\cdot\left(-101\right)}{2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot100}\)
Ở tử số phân số bên phải có số thừa số là: \(101-3+1=99\)
99 là số lẻ nên tử số vế phải sẽ cho ra số âm.
\(=\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot99}{2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot100}\cdot\dfrac{3\cdot4\cdot5\cdot...\cdot\left(-101\right)}{2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot100}\)
\(=\dfrac{1\cdot\left(-101\right)}{100\cdot2}\)
\(=\dfrac{-101}{200}\)
Ở mỗi thừa số trong bài luôn cho ra số âm chứ làm vậy là sai rồi Ngọc Đạt.
Chứng tỏ rằng tổng\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{45^2}\)không phải là số nguyên
Ta có 1/2x3<1/2^2<1/1x2;1/3x4<1/3^2<1/2x3;
.......
1/45x46<1/45^2<1/44x45
=>1/2x3+1/3x4+...+1/45x46<1/2^2+1/3^2+...+1/45^2<1/1x2+1/2x3+...+1/44x45
=>1/2-1/46<1/2^2+1/3^2+...+1/45^2<1-1/45
=>11/23<1/2^2+1/3^2+...+1/45^2<44/45
Mà11/23>0;44/45<1
=>0<1/2^2+1/3^2+...+1/45^2<1
Vậy 1/2^2+1/3^2+...+1/45^2 không phải là số nguyên
\(\dfrac{7}{1\cdot2}+\dfrac{7}{2\cdot3}+\dfrac{7}{3\cdot4}+...+\dfrac{7}{99\cdot100}\)
giúp mình với mai mình phải nộp rùi!!
Ta đặt
\(A=\dfrac{7}{1\times2}+\dfrac{7}{2\times3}+...+\dfrac{7}{99\times100}\)
\(\dfrac{1}{7}\times A=\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+....+\dfrac{1}{99\times100}\)
\(\dfrac{1}{7}\times A=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+....+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(\dfrac{1}{7}\times A=1-\dfrac{1}{100}\)
\(\dfrac{1}{7}\times A=\dfrac{99}{100}\)
\(A=\dfrac{99}{100}\div\dfrac{1}{7}\)
\(A=\dfrac{693}{100}\)
= 7.(1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100)
= 7.(1 - 1/100)
= 7 . 99/100
= 693/100
\(A=7\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\right)\)
\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}=\)
\(=\dfrac{2-1}{1.2}+\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+...+\dfrac{100-99}{99.100}=\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\)
\(=1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}\)
\(\Rightarrow A=7x\dfrac{99}{100}=6,93\)
Cho biểu thức \(A=\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2019}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2020}\). Chứng minh rằng A \(< \dfrac{1}{2}\)
Giúp mk đi, 23h là mk phải nộp rùi
\(A=\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2019}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2020}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}A=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2021}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}A=A-\dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2020}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2021}=\dfrac{1}{3}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2021}< \dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2}\)
Bài 3: Cho B = \(\dfrac{1}{3}\) + \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\) + \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\) + \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\) + ... + \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{100}\)
Chứng tỏ rằng : B không phải là một số nguyên
mọi người ơi giúp mik với , ai làm đc mik tick cho
\(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^{100}}\)
\(3B=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3B-B=1-\dfrac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2B=1-\dfrac{1}{3^{100}}\)
\(0< \dfrac{1}{3^{100}}< 1\Rightarrow0< 1-\dfrac{1}{3^{100}}< 1\)
\(\Rightarrow0< 2B< 1\Rightarrow0< B< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\) B không phải số nguyên
Cho A = \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2017}\). Chứng tỏ rằng A không phải là số tự nhiên.
Cho A = \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2017}\). Chứng tỏ rằng A không phải là số tự nhiên.
Cho D=\(\dfrac{5}{6X37}\)+\(\dfrac{1}{6X43}\)+\(\dfrac{6}{7X43}\)+\(\dfrac{10}{7X59}\)
và E=\(\dfrac{8}{9X37}\)+\(\dfrac{2}{9X47}\)+\(\dfrac{3}{10X47}\)+\(\dfrac{9}{10X59}\)
Em hãy tính \(\dfrac{D}{E}\)
giúp minh với mai mình phải nộp rùi
=>\(D=7\left(\dfrac{5}{42\cdot37}+\dfrac{1}{42\cdot43}+\dfrac{6}{43\cdot49}+\dfrac{10}{49\cdot59}\right)\)
\(=7\left(\dfrac{1}{37}-\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{42}-\dfrac{1}{43}+\dfrac{1}{43}-\dfrac{1}{49}+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{59}\right)\)
=7(1/37-1/59)
=7*22/2183
\(E=5\left(\dfrac{8}{37\cdot45}+\dfrac{2}{45\cdot47}+\dfrac{3}{47\cdot50}+\dfrac{9}{50\cdot59}\right)\)
\(=5\left(\dfrac{1}{37}-\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{45}-\dfrac{1}{47}+...+\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{59}\right)\)
=5(1/37-1/59)
=>D/E=7/5
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
Mọi người giúp em với ạ, chiều em phải nộp rồi ạ T.T